Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости. Книга: Уравнение линии на плоскости Уравнение линии на плоскости кратко

13.04.2024Рубрика: Строительные программы

Пусть на плоскости  задана декартова прямоугольная система координат Оху и некоторая линия L.

Определение . Уравнение F(x;y)=0 (1) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на линии L.

Т.о. линией на плоскости называется геометрическое место точек {M(x;y)}, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).

Уравнение (1) определяет линию L.

Пример. Уравнение окружности.

Окружность – множество точек, равноудаленных от заданной точки М 0 (х 0 ,у 0).

Точка М 0 (х 0 ,у 0) – центр окружности .

Для любой точки М(х;у), лежащей на окружности, расстояние ММ 0 =R (R=const)

ММ 0 ==R

(х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 =R 2 –(2) – уравнение окружности радиуса R с центром в точке М 0 (х 0 ,у 0).

Параметрическое уравнение линии.

Пусть координаты х и у точек линии L выражаются при помощи параметра t:

(3) – параметрическое уравнение линии в ДСК

где функции (t) и (t) непрерывны по параметру t (в некоторой области изменения этого параметра).

Исключая из уравнения (3) параметр t, получим уравнение (1).

Рассмотрим линию L как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону. Пусть переменная t представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента. Тогда задание закона движения представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых непрерывных функций х=(t) и у=(t) времени t.

Пример . Выведем параметрическое уравнение окружности радиуса r>0 с центром в начале координат. Пусть М(х,у) – произвольная точка этой окружности, а t – угол между радиус-вектором и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки.

Тогда x=r cos x y=r sin t. (4)

Уравнения (4) представляют собой параметрические уравнения рассматриваемой окружности. Параметр t может принимать любые значения, но для того, чтобы точка М(х,у) один раз обошла окружность, область изменения параметра ограничивается полусегментом 0t2.

Возведя в квадрат и сложив уравнения (4), получим общее уравнение окружности (2).

2. Полярная система координат (пск).

Выберем на плоскости ось L (полярная ось ) и определим точку этой оси О (полюс ). Любая точка плоскости однозначно задается полярными координатами ρ и φ, где

ρ – полярный радиус , равный расстоянию от точки М до полюса О (ρ≥0);

φ –угол между направлением вектора ОМ и осью L (полярный угол ). М(ρ; φ)

Уравнение линии в ПСК может быть записано:

ρ=f(φ) (5) явное уравнение линии в ПСК

F=(ρ; φ) (6) неявное уравнение линии в ПСК

Связь между декартовыми и полярными координатами точки.

(х;у) (ρ; φ) Из треугольника ОМА:

tg φ=(восстановление угла φ по известному тангенсу производится с учетом того, в каком квадранте находится точка М).(ρ; φ)(х;у). х=ρcos φ, y= ρsin φ

Пример . Найти полярные координаты точек М(3;4) и Р(1;-1).

Для М:=5, φ=arctg (4/3). Для Р: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Классификация плоских линий.

Определение 1. Линия называется алгебраической, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, если она определяется уравнением F(x;y)=0 (1), в котором функция F(x;y) представляет собой алгебраический многочлен.

Определение 2. Всякая не алгебраическая линия называется трансцендентной .

Определение 3 . Алгебраическая линия называется линией порядка n , если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат эта линия определяется уравнением (1), в котором функция F(x;y) представляет собой алгебраический многочлен n-й степени.

Т.о., линией n-го порядка называется линия, определяемая в некоторой декартовой прямоугольной системе алгебраическим уравнением степени n с двумя неизвестными.

Установлению корректности определений 1,2,3 способствует следующая теорема.

Теорема (док-во на с.107). Если линия в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением степени n, то эта линия и в любой другой декартовой прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением той же степени n.

Цель: Рассмотреть понятие линии на плоскости, привести примеры. Основываясь на определение линии, ввести понятие уравнения прямой на плоскости. Рассмотреть виды прямой, привести примеры и способы задания прямой. Закрепить умение переводить уравнение прямой из общего вида в уравнение прямой «в отрезках», с угловым коэффициентом.

Уравнение линии на плоскости.
Уравнение прямой на плоскости. Виды уравнений.
Способы задания прямой.

1. Пусть х и у – две произвольные переменные.

Определение : Соотношение вида F(x,y)=0 называется уравнением , если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.

Пример : 2х + 7у – 1 = 0 , х 2 + y 2 – 25 = 0.

Если равенство F(x,y)=0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F(x,y) = 0 – тождество.

Пример: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0

Говорят, что числа х 0 и у 0 удовлетворяют уравнению , если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.

Определение : Уравнением данной линии называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.

Линия, определяемая уравнением y = f(x), называется графиком функции f(x). Переменные х и у – называются текущими координатами, т. к. являются координатами переменной точки.

Несколько примеров определения линий.

1) х – у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:

2) х 2 - у 2 = 0 => (х-у)(х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х - у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:

3) х 2 + у 2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О(0,0).

2. Определение: Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких–либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosj + ysinj - p = 0 –нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пусть угловой коэффициент прямой равен k, прямая проходит через точку М(х 0 , у 0). Тогда уравнение прямой находится по формуле: у – у 0 = k(x – x 0)

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Линия на плоскости есть совокупность точек этой плоскости, обладающих определенными свойствами, при этом точки, не лежащие на данной линии, этими свойствами не обладают. Уравнение линии определяет аналитически выраженное соотношение между координатами точек, лежащих на этой линии. Пусть это соотношение задано уравнением

F(x,y )=0. (2.1)

Пара чисел, удовлетворяющая (2.1), – не произвольная: если х задано, то у не может быть каким угодно, значение у связано с х . При изменении х изменяется у , и точка с координатами (х,у ) описывает данную линию. Если координаты точки М 0 (х 0 ,у 0) удовлетворяют уравнению (2.1), т.е. F(х 0 ,у 0)=0 – верное равенство, то точка М 0 лежит на данной линии. Верно и обратное утверждение.

Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой линии .

Если известно уравнение некоторой линии, то исследование геометрических свойств этой линии можно свести к исследованию ее уравнения – в этом заключается одна из основных идей аналитической геометрии. Для исследования уравнений существуют хорошо разработанные методы математического анализа, которые упрощают изучение свойств линий.

При рассмотрении линий используется термин текущая точка линии – переменная точка М(х,у ), перемещающаяся вдоль этой линии. Координаты х и у текущей точки называются текущими координатами точки линии.

Если из уравнения (2.1) можно явным образом выразить у
через х , т. е. записать уравнение (2.1) в виде , то кривую, определяемую таким уравнением, называют графиком функции f(х) .

1. Дано уравнение: , или . Если х принимает произвольные значения, то у принимает значения, равные х . Следовательно, линия, определяемая этим уравнением, состоит из точек, равноотстоящих от координатных осей Ох и Оу – это биссектриса I–III координатных углов (прямая на рис. 2.1).

Уравнение , или , определяет биссектрису II–IV координатных углов (прямая на рис. 2.1).

у у у

0 х 0 х С 0 х

рис. 2.1 рис. 2.2 рис. 2.3

2. Дано уравнение: , где С – некоторая постоянная. Это уравнение можно записать иначе: . Этому уравнению удовлетворяют те и только те точки, ординаты у которых равны С при любом значении абсциссы х . Эти точки лежат на прямой, параллельной оси Ох (рис. 2.2). Аналогично, уравнение определяет прямую, параллельную оси Оу (рис. 2.3).

Не всякое уравнение вида F(x,y )=0 определяет линию на плоскости: уравнению удовлетворяет единственная точка – О(0,0), а уравнению не удовлетворяет ни одна точка на плоскости.

В приведенных примерах мы по заданному уравнению строили определяемую этим уравнением линию. Рассмотрим обратную задачу: составить по заданной линии ее уравнение.

3. Составить уравнение окружности с центром в точке Р(a,b ) и
радиусом R.

○ Окружность с центром в точке Р и радиусом R есть совокупность точек, отстоящих от точки Р на расстоянии R. Это значит, что для любой точки М, лежащей на окружности, МР= R, если же точка М не лежит на окружности, то МР ≠ R.

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Определение: Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t . Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Различные виды уравнения прямой

Общее уравнение прямой.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosj + ysinj - p = 0 –

нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

Угол между прямыми на плоскости.

Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 .

Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/k 2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = lА, В 1 = lВ. Если еще и С 1 = lС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы двух уравнений.

Расстояние от точки до прямой.

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Лекция 5

Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Предел функции в точке.

0 a - D a a + D x

Рисунок 1. Предел функции в точке.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что

0 < ïx - aï < D

верно неравенство ïf(x) - Aï< e.

То же определение может быть записано в другом виде:

Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

Запись предела функции в точке:

Определение .

Если f(x) ® A 1 при х ® а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) ® A 2 при х ® а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа.

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Пределы А 1 и А 2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

Определение . Уравнением линии на плоскости (относительно выбранной системы координат) называется такое уравнение с двумя переменными

x , y любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

Здесь F(x, y) x и y .

Уравнение поверхности

Определение . Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными

которому удовлетворяют координаты x , y , z любой точки данной поверхности и только они.

Здесь F(x, y) - некоторая зависимость между x , y и z .

Уравнение линии в пространстве

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями. Пусть l - линия, по которой пересекаются поверхности, определяемые уравнениями F 1 (x, y, z)=0 и F 2 (x, y, z)=0 , то есть множество общих точек этих поверхностей, тогда координаты любой точки линии l одновременно удовлетворяют обоим уравнениям

Эти уравнения и являются уравнениями указанной линии.

Например, уравнения

определяют окружность радиуса R=2 , лежащую в плоскости Oxy . Полярные координаты

Зафиксируем на плоскости точку O и назовем ее полюсом (Рис. 1(a)). Луч [OP ), исходящий из полюса, назовем полярной осью . Выберем масштаб для измерения длин отрезков и условимся, что поворот вокруг точки O против часовой стрелки будем считать положительным.

Рис. 1

Рассмотрим любую точку M на заданной плоскости, обозначим через ρ ее расстояние до полюса и назовем полярным радиусом . Угол, на который нужно повернуть полярную ось [OP ), чтобы она совпадала с [OM ) обозначим через φ и назовем полярным углом .

Определение . Полярными координатами точки M называются ее полярный радиус ρ и полярный угол φ .

Обозначение : M(ρ, φ) .

Любой точке плоскости соответствует определенное значение ρ≥0 . Значение φ для точек, отличных от точки O , определено с точностью до слагаемого 2kπ , k∈Z . Для полюса ρ=0 , а φ не определено. Чтобы каждая точка плоскости получила вполне определенные значения полярных координат, достаточно считать, что 0≤φ<2π , а в полюсе φ=0 . Указанные значения φ называются главными .

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат: полюс совпадает с началом, а полярная ось - с положительной полуосью Ox . Декартовы координаты точки M(x, y) , полярные координаты точки M(ρ, φ) .

Связь между прямоугольными декартовыми координатами точки и ее полярными координатами:

Цилиндрические и сферические координаты

В некоторой плоскости Π фиксируем точку O и исходящий из нее луч [OP ) (Рис. 1(b)). Через точку O поведем прямую перпендикулярную плоскости Π и укажем на ней положительное направление; полученную ось обозначим Oz . Выберем масштаб для измерения длин. Пусть M N - ее проекция на плоскость Π , M z - проекция на Oz . Обозначим через ρ и φ полярные координаты точки N в плоскости Π относительно полюса O и полярной оси OP .

Определение . Цилиндрическими координатами точки M называются числа ρ , φ , z , где ρ , φ - полярные координаты точки N (ρ≥0 , 0≤φ≤2π ), а z=OM z - величина отрезка оси Oz .

Запись M(ρ, φ, z) означает, что точка M имеет цилиндрические координаты ρ , φ , z . Наименование «цилиндрические координаты» объясняется тем, что координатная поверхность ρ=const является цилиндром.

Если выбрать систему прямоугольных декартовых координат, то декартовы координаты x , y , z точки M будут связаны с ее цилиндрическими координатами ρ , phi , z формулами

Выберем масштаб для измерения длин отрезков, зафиксируем плоскость Π с точкой O и полуосью Ox , ось Oz , перпендикулярную плоскости Π (Рис. 1(c)). Пусть M - произвольная точка пространства, N - ее проекция на плоскость Π , r - расстояние точки M до начала координат, θ - угол, образуемый отрезком с осью Oz , phi - угол, на который нужно повернуть ось Ox против часовой стрелки, чтобы она совпала с лучом ON . θ называется широтой , φ - долготой .

Определение . Сферическими координатами точки M называются числа r , θ , φ , определенные выше.

Обозначение : M(r, θ, φ) .

Наименование «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность r=const является сферой.

Для того, чтобы соответствие между точками пространства и тройками сферических координат (r, θ, φ ) было взаимно однозначным считают, что

Если выбрать оси прямоугольной декартовой системы координат как на рисунке, то декартовы координаты x , y , z точки M связаны с ее сферическими координатами r , θ , φ формулами

Преобразования прямоугольных координат на плоскости

а) Перенос начала или параллельный перенос .

Это означает, что при переходе от системы координат Oxy (старая) к системе координат O 1 x′y′ (новая) направление осей координат остается прежним, а за новое начало координат принята точка O 1 (a, b) , старые координаты которой x=a , y=b . Относительно таких систем говорят, что одна получена из другой путем параллельного переноса.

Связь между старыми и новыми координатами некоторой точки M плоскости определяется следующими формулами:

старые через новые координаты: x=x′+a , y=y′+b
новые через старые координаты: x′=x-a , y′=y-b

б) Поворот координатных осей .

При этом новая сиuтема Ox′y′ получается путем поворота старой Oxy на угол α вокруг точки O против часовой стрелки. С каждой из этих координат свяжем полярную систему координат, тогда

Вспоминаем формулы, выражающие координаты точки в декартовой системе через координаты точки в полярной системе

Теперь выражаем старые декартовы прямоугольные координаты x , y точки M через ее новые координаты x′ , y′ :

Следовательно, старые через новые координаты выражаются следующим образом:

Для того, чтобы выразить x′ , y′ через x , y можно поступить следующим образом. Считаем систему Ox′y′ старой, тогда переход к новой системе Oxy совершается поворотом на угол (-α ), поэтому в формулах достаточно поменять местами x→x′ , y→y′ , записать (-α ) вместо α , тогда имеем формулы, выражающие новые координаты через старые.